Główne aktualne kierunki badań naukowych prowadzonych na Wydziale Matematyki grupują się w kilka tematów, których realizacja trwa już od kilku lat.
Poza badaniami prowadzonymi w Zakładzie Algebry i w Pracowni Geometrii, dodatkowo tematyka badań obejmuje geometrię nieprzemienną, zarówno różniczkową jak i algebraiczną, a zwłaszcza struktury algebraiczne, które odgrywają w geometrii nieprzemiennej istotną rolę. W szczególności badane są symetrie w geometrii nieprzemiennej, grupy kwantowe, struktury przeplatające, a także obiekty geometryczne o szczególnym znaczeniu, takie jak nieprzemienne wiązki główne lub kwantowe przestrzenie jednorodne. Analizowane są zagadnienia nieprzemiennego usuwania osobliwości i gładkości nieprzemiennych obiektów geometrycznych (np. orbifoldów). Badane są elementy nieprzemiennej geometrii spektralnej (a la Connes), w szczególności struktury rzeczywiste na trójkach spektralnych. Ponadto przedmiotem badań są algebry Hopfa, kopierścienie i ich komoduły oraz obiekty algebraiczne podobne do pierścieni takie jak wiązary i klamerki.
Badania Zakładu Algebry koncentrują się wokół własności niezmienników grup, pierścieni łącznych oraz algebr niełącznych, głównie algebr Hopfa . Zakres tematyki jest szeroki i obejmuje następujące zagadnienia: rozszerzenia pierścieni, radykały pierścieni i grup, pierścienie filialne, grupy addytywne pierścieni, nieskończone grupy abelowe, pierścienie abelowe, pierścienie niedystrybutywne, kraty podgrup, automorfizmy i generatory grup skończonych.
Główne badania Pracowni Geometrii koncentrują się wokół geometrii rzutowej, jej uogólnień, i geometrii indukowanych przez kwadryki w przestrzeniach rzutowych. Rozpatrywanym przestrzeniom można nadawać strukturę częściowej przestrzeni prostych (przestrzenie pęków - przestrzenie Grassmanna, kwadryki wyższych rzędów, produkty Segre'a), bądź strukturę przestrzeni Benza (przestrzeni okręgów). Zasadniczym nurtem rozważań są zagadnienia charakteryzacji i klasyfikacji, zarówno ważniejszych klas wprowadzanych przestrzeni, jak i standardowych konstruktów pochodnych (podprzestrzenie, automorfizmy, konfiguracje charakterystyczne itp.). W nurcie tym mieszczą się też zagadnienia charakteryzacji zanurzeń - reprezentacji przestrzeni jako "rozmaitości" zanurzonych. Jednym z wątków tych badań jest próba znalezienia naturalnych uogólnień klasycznych pojęć (np. równoległość, rzutowość) i wskazanie ich podstawowych własności. Inne nurty badań, to uogólnienia geometrii hiperbolicznej (geometria quasi hiperboliczna) i geometria ortogonalna oraz kombinatoryczne metody konstrukcji częściowych przestrzeni prostych.
Badania Pracowni Analizy Funkcjonalnej związane są z aspektami współczesnej analizy, które koncentrują się wokół teorii operatorów nielokalnych i singularnych oraz równań generowanych przez nie. Zakres tematyki jest szeroki i obejmuje następujące zagadnienia: struktury algebr operatorowych generowanych przez rachunek symboliczny operatorów pseudoróżniczkowych nielokalnych i problemy brzegowe, reprezentacje algebr operatorowych generowanych przez automorfizmy i endomorfizmy, teoria ergodyczna i entropijna operatorów nielokalnych, metody topologiczne i dynamiczne obliczania charakterystyk spektralnych, teoria perturbacji operatorów nielokalnych, teoria równań nielokalnych w przestrzeniach funkcyjnych, operatory różniczkowe z ?-potencjałem oraz problemy mnożenia dystrybucji, rozszerzenia operatorów symetrycznych do samosprzężonych. Metody i rezultaty teorii równań z operatorami nielokalnymi i singularnymi mogą mieć zastosowanie w analizie stochastycznej, teorii układów dynamicznych, teorii operatorów pseudoróżniczkowych i operatorów splotu ze współczynnikami oscylacyjnymi oraz działającymi w obszarze skomplikowanych teorii równań z małym parametrem i rezonansami, termodynamice, fizyce stochastycznej oraz w teorii punktowych wzajemnych oddziaływań cząsteczek.
Badania naukowe prowadzone w Pracowni Równań Różniczkowych wplatają się w główny nurt światowych badań dotyczących jakościowej i ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych, funkcjonalnych oraz równań o współczynnikach losowych, powszechnie znanych jako układy dynamiczne, mających szerokie zastosowanie w modelowaniu rzeczywistych procesów. Badamy między innymi zachowanie rozwiązań układów dynamicznych opisujących różne losowe wpływy, w tym związanych z okresowymi procesami Markowa, w celu uzyskania warunków rezonansowych do rozwiązywania problemów teorii katastrof, ekologii i problemów oceanów.
Interesuje nas także badanie układów dynamicznych na skalach czasowych. W szczególności uzyskanie warunków koniecznych i dostatecznych przy których dla niektórych rodzajów układów zachodzą wybrane własności asymptotyczne rozwiązań. Jednym z wątków tych badań jest problem konsensusu systemów wieloagentowych na dowolnej skali czasowej.
W pracowni prowadzone są także badania tzw. C, S i E- funkcji, niezmienniczych względem działania grup Weyla związanych z prostymi grupami Liego oraz rodzin wielomianów ortogonalnych przez nie generowanych a także badania zależności funkcji wagowej wielomianów ortogonalnych oraz równania różniczkowego, które zadaje daną rodzinę wielomianów. Zależność taka jest znana w przypadku uogólnionych wielomianów Jacobiego oraz uogólnionych wielomianów Legendre'a. Zależność taka badana jest w innych, ogólniejszych przypadkach.
Zakres badań prowadzonych w Katedrze Fizyki Matematycznej obejmuje szeroko rozumiane metody matematyczne w fizyce. W szczególności zastosowania teorii algebr operatorowych oraz banachowskiej geometrii różniczkowej do opisu klasycznych i kwantowych zjawisk fizycznych.
Badania prowadzone przez pracowników Zakładu Metod Geometrycznych w Fizyce można rozdzielić na następujące tematy:
Prowadzone badania naukowe dotyczą związków pomiędzy strukturami bi-hamiltonowskimi i całkowalnością układów hamiltonowskich. Zagadnienia te dotyczą rozmaitości, na których zdefiniowana jest para zgodnych nawiasów Poissona (rozmaitości bi-hamiltonowskie). Dla wielu klasycznych układów całkowalnych można podać dwie różne funkcje Hamiltona (lub więcej), które generują te same równania ruchu, poprzez wprowadzenie jako opisu danego zagadnienia różnych struktur poissonowskich. Pozwala to na wyznaczenie ciągu całek pierwszych w inwolucji, funkcji Casimira, a co za tym idzie odpowiedzenie na pytanie o całkowalność układu. W szczególności badania skupiają się wokół zagadnień związanych z konstruowaniem wieloparametrowych rodzin układów Lie-Poissona, poprzez konstrukcje związane z kontrakcjami oraz deformacjami algebr Liego.
Prowadzone są także badania dotyczące metody faktoryzacji i jej zastosowań do równań funkcjonalnych, w szczególności różnicowych będących dyskretyzacją równania Schrödingera.
Ponadto badanie metod pozwalających na szybsze i dokładniejsze przetwarzanie danych cyfrowych (np. obrazów, sygnałów) próbkowanych na fragmentach sieci 2-,3- i wyżej wymiarowych, na których działają grupy Weyla (skończone grupy Coxetera) związane z prostymi algebrami Liego. Badanie zastosowań grup Coxetera typu niekrystalograficznego w biologii, a szczególnie w wirusologii.
W ramach naszego serwisu www stosujemy pliki cookies zapisywane na urządzeniu użytkownika w celu dostosowania zachowania serwisu do indywidualnych preferencji użytkownika oraz w celach statystycznych. Użytkownik ma możliwość samodzielnej zmiany ustawień dotyczących cookies w swojej przeglądarce internetowej. Więcej informacji można znaleźć w Polityce Prywatności Uniwersytetu w Białymstoku. Korzystając ze strony wyrażają Państwo zgodę na używanie plików cookies, zgodnie z ustawieniami przeglądarki.
